7.4 Transformações

Nesta seção definiremos as matrizes de transformação em coordenadas homogêneas que correspondem às principais transformações afins utilizadas no pipeline de renderização.

Identidade

A transformação de identidade é a transformação que mapeia um ponto a ele mesmo:

$$p^{\prime }=p.$$

É representada por uma matriz identidade:

$$I=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right].$$ Assim,

$$p^{\prime }=Ip=p.$$

Translação

Translação é a transformação afim de deslocamento de um ponto $p$ por um vetor $t$:

$$p^{\prime }=p+t$$

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{t}_x\\ t_y\\ t_z\\ 0\end{array}\right].$$

A figura 7.2 ilustra o resultado da translação de todos os pontos de um cubo centralizado na origem.

Figura 7.2: Translação.

A matriz de translação é definida como

$$T=T\left(t\right)=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& t_x\\ 0& 1& 0& t_y\\ 0& 0& 1& t_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right].$$

Assim,

$$p^{\prime }=Tp$$

$$\left[\begin{array}{c}x+t_x\\ y+t_y\\ z+t_z\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& t_x\\ 0& 1& 0& t_y\\ 0& 0& 1& t_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right].$$

A inversa da translação é o deslocamento de $p$ no sentido inverso do vetor de deslocamento:

$$T^{-1}\left(t\right)=T(-t).$$

Note que a transformação de translação não altera o formato do objeto. O objeto deslocado continua com as mesmas proporções. Uma transformação que, como a translação, preserva a distância entre todos os pontos do objeto transformado, é chamada de transformação de corpo rígido.

Escala

A escala é um tipo de transformação linear que faz com que um objeto aumente ou diminua de tamanho de acordo com fatores de escala em $x$, $y$ e $z$. Desse modo, a escala não é uma transformação de corpo rígido.

A transformação de escala é obtida multiplicando cada coordenada $(x,y,z)$ de um ponto $p$ pelos escalares $(s_x,s_y,s_z)$:

$$\begin{array}{cc}{x}^{\prime }& =s_{x}x\\ y^{\prime }& =s_{y}y\\ z^{\prime }& =s_{z}z.\end{array}$$

Se os fatores de escala forem todos iguais ($s_x=s_y=s_z$), temos uma escala uniforme pois o objeto é redimensionado por igual em todas direções. A figura 7.3 ilustra o resultado da escala uniforme de cada ponto de um cubo centralizado na origem. Como $s_x=s_y=s_z=2$, o objeto dobra de tamanho em cada dimensão.

Figura 7.3: Escala uniforme sobre um objeto centralizado na origem.

A origem do frame é o ponto fixo da transformação, isto é, é o ponto que não é afetado pela escala. Observe, na figura 7.4, a escala uniforme de um cubo que não está centralizado na origem. O vértice que coincide com a origem é o único ponto que permanece inalterado. Pontos na origem continuam na origem após a escala.

Figura 7.4: Escala uniforme sobre um objeto não centralizado na origem.

Antes da aplicação da transformação de escala, é frequentemente desejável centralizar o objeto na origem ou fazer com que pelo menos a base do objeto fique centralizada na origem, como no modelo mostrado na figura 7.5.

Figura 7.5: Escala em objeto com base centralizada na origem.

Se o objeto não estiver centralizado na origem, a escala poderá deslocar o objeto de forma indireta. Por exemplo, se um cubo unitário estiver centralizado no ponto $(10,10,10)$, a escala com $s_x=s_y=s_z=2$ dobrará o tamanho do cubo em cada dimensão, como esperado. Porém, o cubo agora estará centralizado no ponto $(20,20,20)$, o que provavelmente não é o que se quer.

Se os fatores de escala estão no intervalo $[0,1)$, o objeto diminui de tamanho. A figura 7.6 mostra o resultado de uma escala uniforme que diminui o tamanho do objeto. Como $s_x=s_y=s_z=0.5$, o objeto resultante tem $50\%$ do tamanho original em cada dimensão.

Figura 7.6: Escala uniforme com fatores de escala menores que 1.

Se os fatores de escala não são iguais, o resultado é uma escala não uniforme. Na figura 7.7, o cubo triplica de tamanho na direção $x$ ($s_x=3$), mantém o tamanho na direção $y$ ($s_y=1$), e diminui o tamanho pela metade em $z$ ($s_z=0.5$).

Figura 7.7: Escala não uniforme.

Em resumo, se $s$ é um fator de escala ($s_x$, $s_y$ ou $s_z$):

• $0\le s<1$ faz o objeto diminuir de tamanho na direção correspondente.
• $s=1$ mantém o tamanho do objeto.
• $s>1$ faz o objeto aumentar de tamanho na direção correspondente.

Se o sinal de $s$ é negativo, o resultado é uma reflexão na direção correspondente. A figura 7.8 ilustra o resultado da reflexão em $x$ e $y$ sem alteração do tamanho do objeto ($|s|=1$).

Figura 7.8: Reflexão.

A matriz de escala é definida como

$$S=S(s_x,s_y,s_z)=\left[\begin{array}{cccc}{s}_x& 0& 0& 0\\ 0& s_y& 0& 0\\ 0& 0& s_z& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right].$$

Assim,

$$p^{\prime }=Sp$$

$$\left[\begin{array}{c}{s}_{x}x\\ s_{y}y\\ s_{z}z\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{s}_x& 0& 0& 0\\ 0& s_y& 0& 0\\ 0& 0& s_z& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right].$$

A inversa é a escala pelo valor recíproco dos fatores de escala:

$$S^{-1}(s_x,s_y,s_z)=S(\frac{1}{s_x},\frac{1}{s_y},\frac{1}{s_z})$$

Assim, se um objeto teve seu tamanho dobrado ($s=2$), para voltar ao tamanho original devemos diminuir seu tamanho pela metade ($s=1/2=0.5$).

Rotação

A rotação é um tipo de transformação linear que produz uma movimentação radial em torno de um ponto ou eixo de rotação. A rotação é uma transformação de corpo rígido, pois não altera as distâncias entre os pontos do objeto rodado.

Para simplificar, vamos primeiramente definir uma rotação no plano cartesiano e depois estender o conceito para o espaço tridimensional.

Um ponto $P=(x,y)$ é rodado em torno da origem por um ângulo $\theta$ no sentido anti-horário, resultando em um ponto $P^{\prime }=(x^{\prime },y^{\prime })$ como mostra a figura 7.9.

Figura 7.9: Rotação no plano.

Podemos determinar a transformação que leva $P$ a $P^{\prime }$ através da representação dos pontos em coordenadas polares:

$$\begin{array}{cc}x& =r\cos \varphi ,\\ y& =r\sin \varphi ,\\ & \\ x^{\prime }& =r\cos (\varphi +\theta ),\\ y^{\prime }& =r\sin (\varphi +\theta ).\end{array}$$ Usando a soma de cossenos,

$$\begin{array}{cc}{x}^{\prime }& =r\cos (\varphi +\theta )\\ & =r\cos \varphi \cos \theta -r\sin \varphi \sin \theta ,\\ y^{\prime }& =r\sin (\varphi +\theta )\\ & =r\sin \varphi \cos \theta +r\cos \varphi \sin \theta .\end{array}$$

Substituindo por $x$ e $y$, obtemos o resultado:

$$\begin{array}{cc}{x}^{\prime }& =x\cos \theta -y\sin \theta ,\\ y^{\prime }& =y\cos \theta +x\sin \theta .\end{array}$$

Em notação matricial:

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right].$$ A matriz

$$R\left(\theta \right)=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{array}\right]$$

representa a transformação de rotação em torno da origem por um ângulo $\theta$ no sentido anti-horário.

Rotação 3D

No espaço tridimensional, a rotação ocorre em torno de um eixo de referência.

Vamos derivar as transformações de rotação em torno dos três eixos do sistema de coordenadas cartesiano orientado segundo a regra da mão direita (figura 7.10).

Figura 7.10: Sistema de coordenadas baseado na regra da mão direita.

Um ponto $P=(x,y,z)$ é rodado em torno do eixo $z$ por um ângulo $\theta$ no sentido anti-horário, resultando em um ponto $P^{\prime }=(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$, como mostra a figura 7.11.

Figura 7.11: Rotação em torno de $z$.

Pela regra da mão direita, é como se o eixo $z$ positivo na figura 7.11 estivesse saindo da tela. Assim, as coordenadas $x$ e $y$ mudam como na rotação 2D, e a coordenação $z$ não é modificada:

$$\begin{array}{cc}{x}^{\prime }& =x\cos \theta -y\sin \theta ,\\ y^{\prime }& =y\cos \theta +x\sin \theta ,\\ z^{\prime }& =z.\end{array}$$

A figura 7.12 ilustra o resultado da rotação em $\pi /6$ radianos (${30}^{\circ }$) em torno do eixo $z$, aplicada sobre um cubo centralizado na origem. Como o ângulo é positivo, o objeto é rodado no sentido anti-horário.

Figura 7.12: Rotação sobre um objeto centralizado na origem.

A figura 7.13 mostra a rotação em $\pi /6$ radianos em torno do eixo $z$ sobre um cubo não centralizado na origem. Observe que todos os pontos ao longo do eixo $z$ permanecem inalterados. De fato, na rotação 3D, todos os pontos ao longo do eixo de rotação são pontos fixos.

Figura 7.13: Rotação sobre um objeto não centralizado na origem.

Podemos obter a rotação em torno dos outros eixos através da substituição cíclica das coordenadas $x$, $y$ e $z$ nas expressões de rotação em torno de $z$, segundo a ordem mostrada na figura 7.14.

Figura 7.14: Ordem cíclica de substituição das coordenadas.

Assim, a rotação em torno do eixo $x$ resultará em:

$$\begin{array}{cc}{y}^{\prime }& =y\cos \theta -z\sin \theta ,\\ z^{\prime }& =z\cos \theta +y\sin \theta ,\\ x^{\prime }& =x.\end{array}$$

A rotação em torno do eixo $y$ é obtida através de mais uma substituição cíclica das coordenadas nas expressões acima:

$$\begin{array}{cc}{z}^{\prime }& =z\cos \theta -x\sin \theta ,\\ x^{\prime }& =x\cos \theta +z\sin \theta ,\\ y^{\prime }& =y.\end{array}$$

As matrizes de rotação em torno dos eixos $x$, $y$ e $z$ ficam como a seguir:

$$R_x\left(\theta \right)=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& \cos \theta & -\sin \theta & 0\\ 0& \sin \theta & -\cos \theta & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right],R_y\left(\theta \right)=\left[\begin{array}{cccc}\cos \theta & 0& \sin \theta & 0\\ 0& 1& 0& 0\\ -\sin \theta & 0& \cos \theta & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right],R_z\left(\theta \right)=\left[\begin{array}{cccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0& 0\\ \sin \theta & -\cos \theta & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right].$$

A matriz inversa de uma rotação por um ângulo $\theta$ é simplesmente a matriz de rotação pelo mesmo eixo, mas pelo ângulo $-\theta$:

$$R_x(\theta {)}^{-1}=R_x(-\theta ),R_y(\theta {)}^{-1}=R_y(-\theta ),R_z(\theta {)}^{-1}=R_z(-\theta ).$$

Além disso, as matrizes de rotação são matrizes ortogonais. Desse modo, sua inversa é sua transposta:

$$R_x(\theta {)}^{-1}=R_x(\theta {)}^T,R_y(\theta {)}^{-1}=R_y(\theta {)}^T,R_z(\theta {)}^{-1}=R_z(\theta {)}^T.$$