7.6 Câmera LookAt

Câmera LookAt é o nome dado ao frame de câmera virtual $\{P_{\text{eye}},\hat{u},\hat{v},\hat{n}\}$ construído a partir das seguintes informações:

1. Um ponto $P_{\text{eye}}$ que corresponde à posição da câmera no espaço do mundo;
2. Um ponto $P_{\text{at}}$ que corresponde à posição aonde a câmera está olhando, também no espaço do mundo²⁸.
3. Um vetor $v_{\text{up}}$ utilizado para indicar a direção “para cima” da câmera. Geralmente esse vetor é a direção $(0,1,0)$.

A figura 7.25 ilustra esses elementos, incluindo os vetores $\{\hat{u},\hat{v},\hat{n}\}$ que formam a base ortonormal da câmera.

Figura 7.25: Frame da câmera, representado em relação ao mundo.

O sistema de coordenadas da câmera segue a regra da mão direita. Note que a câmera está olhando na direção $-\hat{n}$ no espaço do mundo, que corresponde à direção do eixo $z$ negativo da câmera.

Inicialmente, não temos a base ortonormal $\{\hat{u},\hat{v},\hat{n}\}$. Só temos as seguintes informações (ilustradas na figura 7.26):

• A posição da câmera, $P_{\text{eye}}$;
• A posição para onde a câmera deve ser direcionada, $P_{\text{at}}$;
• O vetor $v_{\text{up}}$, que vamos considerar como sendo o vetor $(0,1,0)$.

Figura 7.26: Parâmetros de uma câmera LookAt.

Através dessas informações construiremos a base $\{\hat{u},\hat{v},\hat{n}\}$. Com a base e o ponto de referência ($P_{\text{eye}}$) temos o frame completo para criar a matriz de visão $M_{\text{view}}$. Como vimos anteriormente, a matriz de visão representa uma mudança de frame: do espaço do mundo para o espaço da câmera.

Construindo o vetor n

Para construir a base ortonormal, primeiro fazemos $P_{\text{eye}}-P_{\text{at}}$ para obter o vetor que aponta na direção contrária da direção de visão. Esse vetor é então normalizado para obter $\hat{n}$ (figura 7.27):

$$\hat{n}=\frac{P_{\text{eye}}-P_{\text{at}}}{|P_{\text{eye}}-P_{\text{at}}|}.$$

Figura 7.27: Construção do vetor n da câmera LookAt.

Note que $\hat{n}$ está sendo representado em coordenadas do espaço do mundo. Em relação à câmera, $\hat{n}$ torna-se o vetor $\hat{k}=(0,0,1)$, isto é, a direção do eixo $z$ positivo da câmera (direção para trás da câmera).

Construindo o vetor u

Agora que temos $\hat{n}$, o segundo passo é calcular o produto vetorial $v_{\text{up}}\times \hat{n}$ e normalizar o resultado. Com isso obtemos o vetor $\hat{u}$ perpendicular ao plano formado por $v_{\text{up}}$ e $\hat{n}$ (figura 7.28):

$$\hat{u}=\frac{v_{\text{up}}\times \hat{n}}{|v_{\text{up}}\times \hat{n}|}.$$

Figura 7.28: Construção do vetor u da câmera LookAt.

No frame da câmera, $\hat{u}$ corresponde ao vetor $\hat{i}=(1,0,0)$, isto é, a direção do eixo $x$ da câmera (direção à direita).

Construindo o vetor v

Embora $\hat{u}$ seja perpendicular a $\hat{n}$ e a $v_{\text{up}}$, ainda não temos uma base ortonormal pois $v_{\text{up}}$ não é necessariamente perpendicular a $\hat{n}$. Na figura 7.28, $v_{\text{up}}$ e $\hat{n}$ formam um ângulo menor que ${90}^{\circ }$.

Para obter um vetor que seja mutuamente ortogonal a $\hat{n}$ e $\hat{u}$, basta calcularmos o produto vetorial $\hat{n}\times \hat{u}$. O resultado é $\hat{v}$ (figura 7.29) que já está normalizado pois $\hat{n}$ e $\hat{u}$ também têm comprimento 1.

$$\hat{v}=\hat{n}\times \hat{u}.$$

Figura 7.29: Construção do vetor v da câmera LookAt.

Note que, em relação à câmera, $\hat{v}$ corresponde ao vetor $\hat{j}=(0,1,0)$, isto é, o eixo $y$ da câmera (direção para cima).

Os vetores $\{\hat{u},\hat{v},\hat{n}\}$ formam a base ortonormal da câmera, representados em relação ao espaço do mundo.

Construindo a matriz de visão

Para a construção da matriz de mudança de frame, vamos relembrar primeiro a matriz de mudança de base.

A matriz com colunas formadas pelos vetores $\left\{T\right(\hat{i}),T(\hat{j}),T(\hat{k}\left)\right\}$ representa uma mudança da base $\{\hat{i},\hat{j},\hat{k}\}$ para a base transformada. A transformação $T$ é uma composição de rotações (por exemplo, $R_z{R}_y{R}_x$), que tem o efeito de rodar a base original para a nova.

O que temos atualmente é a base $\{\hat{u},\hat{v},\hat{n}\}$. Esses vetores estão representados em relação ao espaço do mundo. Se estivessem representados em relação ao espaço da câmera, a base seria $\{\hat{i},\hat{j},\hat{k}\}$. Então, se construirmos a matriz $R$ de mudança de base,

$$R=\left[\begin{array}{cccc}{u}_{11}& v_{12}& n_{13}& 0\\ u_{21}& v_{22}& n_{23}& 0\\ u_{31}& v_{32}& n_{33}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right],$$ tal matriz representa a mudança do espaço da câmera para o espaço do mundo. Não é bem o que queremos. Gostaríamos da matriz que faz a transformação inversa, isto é, que converte coordenadas do mundo para a câmera. Entretanto, vamos prosseguir com $R$ da forma como está. Ao final poderemos calcular a matriz inversa da transformação completa, para finalmente obter $M_{\text{view}}$.

Com a matriz $R$, a base $\{\hat{i},\hat{j},\hat{k}\}$ no espaço da câmera é transformada por rotações para resultar na base $\{\hat{u},\hat{v},\hat{n}\}$ representada no espaço do mundo. Isso é ilustrado na figura 7.30.

Figura 7.30: Rotação da base representada no espaço da câmera, para a base representada no espaço do mundo.

Além da base, um frame também precisa de um ponto de referência. Esse ponto de referência é o próprio $P_{\text{eye}}$, que representa a origem $O$ no espaço da câmera. $P_{\text{eye}}$ é o deslocamento necessário para mover a origem do espaço da câmera para sua posição no espaço do mundo. Em outras palavras, temos uma transformação de translação que pode ser representada pela matriz

$$T=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& P_{{\text{eye}}_x}\\ 0& 1& 0& P_{{\text{eye}}_y}\\ 0& 0& 1& P_{{\text{eye}}_z}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right].$$

Fazendo a composição das transformações, temos

$$M=TR$$ $$M=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& P_{{\text{eye}}_x}\\ 0& 1& 0& P_{{\text{eye}}_y}\\ 0& 0& 1& P_{{\text{eye}}_z}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{u}_{11}& v_{12}& n_{13}& 0\\ u_{21}& v_{22}& n_{23}& 0\\ u_{31}& v_{32}& n_{33}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right].$$ A figura 7.31 ilustra como a matriz de transformação $M$ converte coordenadas do espaço da câmera para o espaço do mundo, que é o equivalente a rodar a base $\{\hat{i},\hat{j},\hat{k}\}$ para $\{\hat{u},\hat{v},\hat{n}\}$ (matriz de rotação $R$), e então transladar a origem $O$ para $P_{\text{eye}}$ (matriz de translação $T$).

Figura 7.31: Mudança do espaço da câmera para o espaço do mundo.

Para obter $M_{\text{view}}$, basta calcularmos a inversa de $M$. Lembre-se que a inversa de uma matriz de rotação é a sua transposta, e a inversa da translação por $P_{\text{eye}}$ é a translação por $-P_{\text{eye}}$. Portanto,

$$\begin{array}{cc}{M}_{\text{view}}& =M^{-1}\\ & =(TR{)}^{-1}\\ & ={\left(\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& P_{{\text{eye}}_x}\\ 0& 1& 0& P_{{\text{eye}}_y}\\ 0& 0& 1& P_{{\text{eye}}_z}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{u}_{11}& v_{12}& n_{13}& 0\\ u_{21}& v_{22}& n_{23}& 0\\ u_{31}& v_{32}& n_{33}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\right)}^{-1}\\ & ={\left[\begin{array}{cccc}{u}_{11}& v_{12}& n_{13}& 0\\ u_{21}& v_{22}& n_{23}& 0\\ u_{31}& v_{32}& n_{33}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]}^{-1}{\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& P_{{\text{eye}}_x}\\ 0& 1& 0& P_{{\text{eye}}_y}\\ 0& 0& 1& P_{{\text{eye}}_z}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]}^{-1}\\ & =\left[\begin{array}{cccc}{u}_{11}& u_{21}& u_{23}& 0\\ v_{12}& v_{22}& v_{33}& 0\\ n_{13}& v_{23}& n_{33}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -P_{{\text{eye}}_x}\\ 0& 1& 0& -P_{{\text{eye}}_y}\\ 0& 0& 1& -P_{{\text{eye}}_z}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cccc}{u}_{11}& u_{21}& u_{23}& -\hat{u}\cdot P_{\text{eye}}\\ v_{12}& v_{22}& v_{33}& -\hat{v}\cdot P_{\text{eye}}\\ n_{13}& v_{23}& n_{33}& -\hat{n}\cdot P_{\text{eye}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right].\end{array}$$

A biblioteca GLM possui a função glm::lookAt, definida em cabeçalho glm/gtc/matrix_transform.hpp:

glm::mat4 glm::lookAt(glm::vec3 const& eye, glm::vec3 const& center, glm::vec3 const& up);
glm::dmat4 glm::lookAt(glm::dvec3 const& eye, glm::dvec3 const& center, glm::dvec3 const& up);

glm::lookAt gera a matriz $M_{\text{view}}$ de uma câmera LookAt, dados os parâmetros $P_{\text{eye}}$ (eye), $P_{\text{at}}$ (center) e $v_{\text{up}}$ (up).

Internamente, a função chama glm::lookAtRH para gerar o frame baseado na regra da mão direita. O conteúdo dessa função é dado a seguir:

template<typename T, qualifier Q>
GLM_FUNC_QUALIFIER mat<4, 4, T, Q> lookAtRH(vec<3, T, Q> const& eye, vec<3, T, Q> const& center, vec<3, T, Q> const& up)
{
    vec<3, T, Q> const f(normalize(center - eye));
    vec<3, T, Q> const s(normalize(cross(f, up)));
    vec<3, T, Q> const u(cross(s, f));

    mat<4, 4, T, Q> Result(1);
    Result[0][0] = s.x;
    Result[1][0] = s.y;
    Result[2][0] = s.z;
    Result[0][1] = u.x;
    Result[1][1] = u.y;
    Result[2][1] = u.z;
    Result[0][2] =-f.x;
    Result[1][2] =-f.y;
    Result[2][2] =-f.z;
    Result[3][0] =-dot(s, eye);
    Result[3][1] =-dot(u, eye);
    Result[3][2] = dot(f, eye);
    return Result;
}

Na linha 4, f (vetor “forward”) é equivalente ao nosso $-\hat{n}$.

Na linha 5, s (vetor “side”) é o nosso vetor $\hat{u}$, calculado como $-\hat{n}\times v_{\text{up}}$, que é o mesmo que $v_{\text{up}}\times \hat{n}$, seguido de uma normalização.

Na linha 6, u é o nosso vetor $\hat{v}$, calculado como $\hat{u}\times -\hat{n}$, que é o mesmo que $\hat{n}\times \hat{u}$.

Nas linhas 9 a 21 é montada a matriz Result, que é a matriz $M_{\text{view}}$. Internamente, a GLM armazena as matrizes no formato column-major, o que significa que o primeiro índice é a coluna, e o segundo índice é a linha. Levando isso em consideração, observe que a matriz resultante é de fato:

$$\begin{array}{cc}{M}_{\text{view}}& =\left[\begin{array}{cccc}{u}_{11}& u_{21}& u_{23}& -\hat{u}\cdot P_{\text{eye}}\\ v_{12}& v_{22}& v_{33}& -\hat{v}\cdot P_{\text{eye}}\\ n_{13}& v_{23}& n_{33}& -\hat{n}\cdot P_{\text{eye}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right].\end{array}$$

---

28. O ponto “at” também é chamado de “center” ou “target.”↩︎