7.3 Concatenação de transformações

Podemos expressar uma sequência, composição ou concatenação de transformações através de um produto matricial.

Por exemplo, a transformação de um ponto (ou vetor) p$p$ por A$A$, e em seguida por B$B$, e então por C$C$, pode ser escrita como:

p′=C(B(Ap)),$$p^{\prime }=C\left(B\right(Ap\left)\right),$$ Como a multiplicação entre matrizes é associativa, podemos remover os parênteses:

p′=CBAp.$$p^{\prime }=CBAp.$$

Observação

• Lembre-se que, em geral, o produto matricial não é comutativo:

  CBA≠ABC.$$CBA\ne ABC.$$

• Na expressão p′=CBAp$p^{\prime }=CBAp$, a ordem de aplicação das transformações é determinada pela leitura da direita para a esquerda:

  • Em 1º lugar, aplica-se a transformação representada pela matriz A$A$.
  • Em 2º lugar, aplica-se a transformação representada pela matriz B$B$.
  • Por último, a transformação representada pela matriz C$C$.

  
  Se quisermos ler a ordem das transformações da esquerda para a direita, precisamos antes calcular a transposta da expressão:

  p′T=(CBAp)T=pTATBTCT.

  Observe que, neste caso, pT é uma matriz linha multiplicada à esquerda (pré-multiplicação) da matriz de transformação. Como nossa convenção neste curso é usar representações de pontos e vetores como matrizes coluna multiplicadas à direita (pós-multiplicação), usaremos sempre a expressão original p′=CBAp.

No caso geral, se um ponto ou vetor é representado por uma matriz coluna p, então a expressão

p′=AkAk−1…A1p

representa a transformação do ponto/vetor por uma sequência de transformações na ordem

A1,A2,…,Ak.

Se for necessário aplicar uma mesma sequência de transformações a diferentes pontos ou vetores, é desejável primeiramente armazenar o resultado da multiplicação das matrizes de transformação em uma única matriz. Por exemplo,

M=AkAk−1…A1,

onde M representa as transformações na ordem A1,A2,…,Ak e pode ser utilizada para transformar quantos pontos/vetores forem necessários:

v′1=Mv1,v′2=Mv2,⋮

A malha de triângulos de um modelo geométrico pode ser composta por milhares de vértices, e a transformação de um modelo exige a transformação da posição de todos os seus vértices. Assim, a concatenação de transformações em uma única matriz aumenta a eficiência do processamento geométrico.