9.2 Modelo de reflexão de Phong

O modelo de reflexão de Phong (Phong 1973) é um modelo de iluminação local que modela de forma empírica a quantidade de luz refletida de um ponto $P$ de uma superfície em uma direção $\hat{v}$ até a câmera. O modelo não é fisicamente correto e, por exemplo, não respeita a lei de conservação de energia. Entretanto, produz resultantes suficientemente adequados para produzir a percepção de objetos iluminados. Além disso, é muito eficiente.

A figura 9.5 ilustra a geometria do modelo de reflexão de Phong considerando apenas uma fonte de luz.

Figura 9.5: Geometria do modelo de reflexão de Phong.

Nessa figura, $P$ é o ponto de uma superfície, e $\hat{n}$ é o vetor normal unitário correspondente.

A luz que incide sobre $P$ vem de uma direção $-\hat{l}$, onde

$$\hat{l}=\frac{L-P}{|L-P|}$$

é o vetor que vai de $P$ até a fonte de luz situada em um ponto $L$, mas normalizado para se transformar em um vetor unitário.

Parte da luz incidente em $P$ é refletida na direção do vetor

$$\hat{v}=\frac{E-P}{|E-P|},$$

que é o vetor normalizado de $P$ até a câmera posicionada em um ponto $E$.

A intensidade da luz refletida na direção $\hat{v}$ é calculada como a soma de três componentes de reflexão: ambiente ($I_a$), difusa ($I_d$) e especular ($I_s$):

$$I=I_a+I_d+I_s.$$

A figura 9.6 mostra um exemplo da contribuição de cada componente para a formação da renderização do modelo Stanford Bunny.

Figura 9.6: Soma das componentes de reflexão ambiente, difusa e especular.

Nessa imagem, o coelho está centralizado na origem do espaço do mundo. A câmera está em $E=(0,0,2)$ olhando da direção de $z$ negativo, e a fonte de luz está localizada em $L=(100,100,100)$ (acima, à direita e à frente do coelho).

O aspecto de material feito de plástico é característico de superfícies iluminadas com o modelo de reflexão de Phong.

Em geral, uma cena possui mais de uma fonte de luz. Nesse caso, as componentes $I_d$ e $I_s$ devem ser calculadas para cada fonte de luz e então somadas. Se a cena tiver $m$ fontes de luz (figura 9.7), então a reflexão deverá ser calculada como

$$I=I_a+\sum _{i=1}^m(I_{d_i}+I_{s_i}).$$

Figura 9.7: Geometria do modelo de reflexão de Phong para a interação com várias fontes de luz.

A seguir, detalharemos as componentes de reflexão ambiente, difusa e especular.

Reflexão ambiente

A componente de reflexão ambiente é uma constante que procura aproximar a iluminação indireta resultante das interreflexões de luz entre as superfícies. A componente não depende da posição de $P$, da posição da câmera $E$ ou das fontes de luz $L_1,L_2,\dots ,L_m$, e é computada simplesmente como

$$I_a={\kappa }_a{\iota }_a,$$

onde

• ${\kappa }_a$ é a constante de reflexão ambiente que determina o quanto o material reflete a luz ambiente.
• ${\iota }_a$ é a intensidade de luz ambiente incidente em $P$.

Uma vez que $I_a$ é constante para todos os pontos de um objeto, esse valor pode ser pré-calculado e reutilizado em todos os pontos.

Na maioria das aplicações, $I_a$ é um valor bastante baixo. A figura 9.8 mostra o resultado da renderização usando apenas a componente de reflexão ambiente, com ${\kappa }_a=0.1$ e ${\iota }_a=1.0$. O objeto é desenhado com um tom de cinza, que neste caso é a cor RGB $(0.1,0.1,0.1)$, isto é, cada componente de cor é o próprio valor $I_a$.

Figura 9.8: Renderização usando apenas a componente ambiente.

Mais adiante descreveremos como estender o cálculo de reflexão para gerar cores em vez de tons de cinza.

Reflexão difusa

A componente de reflexão difusa $I_d$ representa a luz que é refletida supondo que $P$ faz parte de uma superfície difusa ideal, também chamada de superfície lambertiana em homenagem ao matemático e físico suíço Johann Heinrich Lambert (1728–1777), que introduziu tal conceito.

Não há superfícies idealmente difusas no mundo físico. Entretanto, aproximações incluem, por exemplo, paredes de gesso e argamassa, e superfícies em geral que possuem aspecto fosco. Superfícies difusas são aquelas que não possuem brilho especular.

Em uma superfície lambertiana, a luz que incide sobre $P$ é refletida igualmente em todas as direções, como ilustra a figura 9.9.

Figura 9.9: Reflexão difusa ideal.

A intensidade da luz refletida é proporcional ao cosseno do ângulo entre $\hat{l}$ e $\hat{n}$ (relação chamada de lei do cosseno de Lambert), que é o mesmo que o produto escalar entre os vetores unitários:

$$\cos \theta =\hat{l}\cdot \hat{n}.$$

Observe que esse valor é também a projeção escalar de $\hat{l}$ sobre $\hat{n}$.

Quanto maior o ângulo entre $\hat{l}$ e $\hat{n}$, menor a intensidade da reflexão difusa. A intensidade é mínima quando os vetores são perpendiculares, pois $\cos \left(\pi /2\right)=0$, e máxima quando paralelos, pois $\cos \left(0\right)=1$. Isso ocorre porque a energia luminosa que incide sobre uma área da superfície é mais concentrada quanto mais perpendicular a luz estiver em relação à superfície (figura 9.10).

Figura 9.10: A concentração da luz em uma superfície depende da orientação da luz em relação à superfície.

Esse fator de atenuação da reflexão da luz está presente na equação de renderização, através do termo $\cos {\theta }_i$ da integral:

$$I(x,{\omega }_{\text{o}})=I_{\text{e}}(x,{\omega }_{\text{o}})+{\int }_{\Omega }{f}_{\text{r}}({\omega }_{\text{i}},{\omega }_{\text{o}})I(x,{\omega }_{\text{i}})\cos {\theta }_{i}d{\omega }_{\text{i}}.$$

Em uma superfície idealmente difusa, a BRDF é uma constante, isto é, $f_r({\omega }_i,{\omega }_o)={\kappa }_d$. Logo, a equação de renderização torna-se

$$\begin{array}{cc}I(x,{\omega }_{\text{o}})& =I_{\text{e}}(x,{\omega }_{\text{o}})+{\int }_{\Omega }{\kappa }_{d}I(x,{\omega }_{\text{i}})\cos {\theta }_{i}d{\omega }_{\text{i}}\\ & =I_{\text{e}}(x,{\omega }_{\text{o}})+{\kappa }_d{\int }_{\Omega }I(x,{\omega }_{\text{i}})\cos {\theta }_{i}d{\omega }_{\text{i}}.\end{array}$$

O modelo de reflexão de Phong aproxima isso calculando a componente difusa como

$$I_d={\kappa }_d{\iota }_d(\hat{l}\cdot \hat{n}),$$

onde

• ${\kappa }_d$ é a constante de reflexão difusa que determina o quanto o material reflete a luz difusa.
• ${\iota }_d$ é a intensidade de luz difusa incidente em $P$.
• $\hat{l}\cdot \hat{n}$ é o fator de atenuação relacionado à lei de cosseno de Lambert. São válidos apenas os valores no intervalo $[0,1]$.

A figura 9.11 mostra o resultado da renderização usando apenas a componente de reflexão difusa, com ${\kappa }_d=0.7$ e ${\iota }_d=1.0$.

Figura 9.11: Renderização usando apenas a componente difusa.

Se tivermos $m>1$ fontes de luz, cada fonte de luz terá seu próprio vetor $\hat{l}$ e sua própria intensidade ${\iota }_d$. A componente $I_d$ deverá levar em conta a soma de todas essas intensidades:

$$I_d={\kappa }_d\sum _{i=1}^m{\iota }_{d_i}({\hat{l}}_i\cdot \hat{n}).$$

Observação

• Note a semelhança entre $I_d$ e a integral da equação de renderização com BRDF constante:

  $${\kappa }_d\sum _{i=1}^m{\iota }_{d_i}({\hat{l}}_i\cdot \hat{n})\approx {\kappa }_d{\int }_{\Omega }I(x,{\omega }_{\text{i}})\cos {\theta }_{i}d{\omega }_{\text{i}}.$$

  • A integral é substituída pelo somatório, pois as fontes de luz podem ser consideradas como pontos discretos no espaço;
  • ${\iota }_{d_i}$ é uma aproximação de $I(x,{\omega }_{\text{i}})$ para a incidência da luz da $i$-ésima fonte de luz;
  • ${\hat{l}}_i\cdot \hat{n}$ é $\cos {\theta }_i$.

• Note também que $I_d$ não usa o vetor $\hat{v}$, que é o vetor de direção até a câmera. Isso significa que a componente de reflexão difusa não depende da posição da câmera.

  Se a cena é estática, isto é, se os objetos e as fontes de luz não se movem, a componente de reflexão difusa de cada ponto pode ser pré-calculada. Essa característica é explorada na técnica de radiosidade (Greenberg, Cohen, and Torrance 1986). A técnica considera que todas as superfícies da cena são lambertianas. Desse modo, a solução da equação de renderização pode ser pré-computada e a intensidade de reflexão difusa pode ser gravada como a “cor” de cada vértice. A cena pode então ser visualizada por uma câmera LookAt em tempo real.

Reflexão especular

Uma superfície idealmente especular é um espelho ideal. A luz que incide em $P$ é refletida apenas na direção reflexa $\hat{r}$ do vetor $\hat{l}$ em torno de $\hat{n}$, como mostra a figura 9.12.

Figura 9.12: Reflexão especular ideal.

O vetor $\hat{r}$ de reflexão ideal é calculado como

$$\hat{r}=2(\hat{l}\cdot \hat{n})\hat{n}-\hat{l}.$$

A figura 9.13 mostra uma interpretação geométrica desssa expressão.

Figura 9.13: Calculando o vetor de reflexão especular.

No modelo de reflexão de Phong, a reflexão especular $I_s$ é um valor que varia de acordo com o ângulo formado entre $\hat{r}$ e $\hat{v}$:

$$I_s={\kappa }_s{\iota }_s(\hat{r}\cdot \hat{v}{)}^{\alpha },$$

onde

• ${\kappa }_s$ é a constante de reflexão especular que determina o quanto o material reflete a luz especular.

• ${\iota }_s$ é a intensidade de luz especular incidente em $P$.

• $\alpha \ge 0$ é uma constante que determina o espalhamento do brilho especular. É uma propriedade do material.

  Quanto maior é o valor de $\alpha$, mais concentrado será o brilho especular. Desse modo, $\alpha$ define o quão “lustro” é o material. Se $\alpha =\infty$, o resultado é um superfície especular ideal (espelho ideal).

• $\hat{r}\cdot \hat{v}$ é o cosseno do ângulo entre $\hat{r}$ e $\hat{v}$. São válidos apenas os valores no intervalo $[0,1]$.

  O brilho especular é máximo ($\hat{r}\cdot \hat{v}=1$) se $\hat{r}=\hat{v}$.

  O brilho especular é mínimo ($\hat{r}\cdot \hat{v}=0$) se $\hat{r}$ e $\hat{v}$ são perpendiculares.

A figura 9.14 mostra o resultado da variação do brilho especular para diferentes valores de $\alpha$ e ilustra a variação correspondente de $\hat{r}\cdot \hat{v}$. As renderizações consideram os valores de intensidade ambiente e difusa mostrados nas figuras 9.8 e 9.11.

Figura 9.14: Renderização usando diferentes valores de brilho especular.

A figura 9.15 mostra o resultado da renderização usando apenas a componente de reflexão especular, com ${\kappa }_s=0.7$ e ${\iota }_s=1.0$ e $\alpha =50$.

Figura 9.15: Renderização usando apenas a componente especular.

Se tivermos $m>1$ fontes de luz, cada fonte de luz terá seu próprio vetor $\hat{r}$ e sua própria intensidade ${\iota }_s$. A componente $I_s$ deverá levar em conta a soma de todas essas intensidades:

$$I_s={\kappa }_s\sum _{i=1}^m{\iota }_{s_i}({\hat{r}}_i\cdot \hat{v}{)}^{\alpha }.$$

Modelo completo

Combinando as componentes ambiente, difusa e especular, temos a equação completa

$$I={\kappa }_a{\iota }_a+\sum _{i=1}^m\left({\kappa }_d{\iota }_{d_i}\right({\hat{l}}_i\cdot \hat{n})+{\kappa }_s{\iota }_{s_i}({\hat{r}}_i\cdot \hat{v}{)}^{\alpha }).$$

A equação pode ser avaliada em um vertex shader ou fragment shader, pois podemos armazenar as seguintes informações como variáveis uniformes (uniform):

• $\alpha$ (constante de espalhamento de brilho especular).
• $m$ (número de fontes de luz).
• ${\kappa }_a$, ${\kappa }_d$, ${\kappa }_s$ (coeficientes de reflexão do material).
• ${\iota }_a$, ${\iota }_d$, ${\iota }_s$ (intensidades de luz, em um arranjo de $m$ elementos, um para cada fonte de luz).

Além disso, $\hat{n}$ pode ser pré-calculado como um atributo do vértice, isto é, como um VBO de vetores normais de vértices.

Podemos calcular $\hat{l}$ como

$$\hat{l}=\frac{L-P}{|L-P|},$$

onde $L$ é a posição da fonte de luz, que também pode ser armazenada como uma variável uniforme, e $P$ é o atributo de posição do vértice atual (caso a equação seja avaliada no vertex shader) ou fragmento atual (caso a equação seja avaliada no fragment shader).

Podemos calcular $\hat{v}$ como

$$\hat{v}=\frac{E-P}{|E-P|},$$ onde $E$ é a posição da câmera. Se considerarmos que $P$ está no espaço da câmera, então a posição da câmera é a origem:

$$E=(0,0,0)$$ e assim não é necessário enviar $E$ ao shader como uma variável uniforme.

Como já vimos, $\hat{r}$ pode ser calculado como

$$\hat{r}=2(\hat{l}\cdot \hat{n})\hat{n}-\hat{l}.$$

Enfim, temos tudo o que é preciso para implementar o modelo de reflexão de Phong no pipeline gráfico. Faremos isso em um passo a passo de implementação nas seções 9.5 e 9.6.

Iluminação colorida

Até agora só consideramos fontes de luz e materiais monocromáticos. Se quisermos representar fontes de luz coloridas ou materiais coloridos, devemos calcular $I$ para cada uma das componentes RGB. Assim, as constantes de material (${\kappa }_a$, ${\kappa }_d$, ${\kappa }_s$) e as intensidades (${\iota }_a$, ${\iota }_d$, ${\iota }_s$) de cada fonte de luz deverão ser tuplas de três elementos:

$${\kappa }_a=({\kappa }_{a,r},{\kappa }_{a,g},{\kappa }_{a,b}),{\kappa }_d=({\kappa }_{d,r},{\kappa }_{d,g},{\kappa }_{d,b}),{\kappa }_s=({\kappa }_{s,r},{\kappa }_{s,g},{\kappa }_{s,b}),$$

e

$${\iota }_a=({\iota }_{a,r},{\iota }_{a,g},{\iota }_{a,b}),{\iota }_d=({\iota }_{d,r},{\iota }_{d,g},{\iota }_{d,b}),{\iota }_s=({\iota }_{s,r},{\iota }_{s,g},{\iota }_{s,b}).$$

Os elementos dessas tuplas correspondem a cores RGB. Por exemplo, um objeto de cor vermelha poderá ser especificado com um material com constante de reflexão difusa

$${\kappa }_d=(1,0,0).$$

Isso significa que o material reflete toda luz vermelha (${\kappa }_{d,r}=1$) e absorve completamente as outras cores (${\kappa }_{d,g}={\kappa }_{d,b}=0$) das fontes de luz.

Alguns exemplos de materiais são mostrados na figura 9.16. Todos esses materiais estão sendo iluminados por uma fonte de luz branca, isto é, ${\iota }_a={\iota }_d={\iota }_s=(1,1,1)$.

Figura 9.16: Diferentes materiais no modelo de Phong.

Como regra geral, se o material não é um metal, ${\kappa }_s$ deve ter o mesmo valor para cada componente RGB, pois a cor do brilho especular deve ser a cor da fonte de luz. Se o material é um metal, ${\kappa }_s$ deve ser a cor do material. Por exemplo, em um objeto feito de ouro, a cor especular deve ser amarelada.

A cor de uma fonte de luz pode ser especificada através da intensidade de luz difusa. Por exemplo, uma luz verde é definida com

$${\iota }_d=(0,1,0).$$

Suponha que a luz verde ilumine um material vermelho com ${\kappa }_d=(1,0,0)$. O resultado de ${\kappa }_d{\iota }_d$ (multiplicação elemento a elemento) será a cor preta

$${\kappa }_d{\iota }_d=(0,0,0).$$

Isso faz sentido pois, de fato, um objeto vermelho têm a aparência de um objeto preto quanto iluminado por uma luz verde.

Fontes de luz

Até agora, consideramos que cada fonte de luz do modelo de reflexão de Phong é um ponto $L$ no espaço. Essa é a definição de uma fonte de luz pontual.

Além da luz pontual, também é comum o uso de luz direcional. A seguir, definiremos a luz direcional e revisitaremos a definição de luz pontual com a introdução do conceito adicional de atenuação espacial.

Luz pontual

Uma fonte de luz pontual é definida por um ponto que emite luz em igual intensidade em todas as direções, como uma lâmpada tradicional de bulbo.

Se $L$ é a posição da luz, então o vetor $\hat{l}$ do modelo de reflexão é definido como

$$\hat{l}=\frac{L-P}{|L-P|}.$$

Podemos simular um efeito de atenuação da luz, isto é, diminuição da intensidade da fonte de luz de acordo com a distância do ponto $L$ em relação ao ponto $P$.

As intensidades que devem ser atenuadas são as contantes ${\iota }_d$ (intensidade difusa) e ${\iota }_s$ (intensidade especular). Opcionalmente, podemos atenuar ${\iota }_a$ (intensidade ambiente) caso consideremos que a fonte de luz em questão contribui para a intensidade ambiente.

No mundo real, a intensidade luminosa é proporcional ao inverso da distância ao quadrado. Entretanto, podemos obter um maior controle artístico se considerarmos que o fator de atenuação é definido de forma mais geral como:

$$F_{\text{att}}=\frac{1}{k_c+k_{l}d+k_q{d}^2}.$$

onde

• $d$ é a distância, isto é, $|L-P|$.
• $k_c$, $k_l$ e $k_q$ são, respectivamente, os termos constante, linear e quadrático da atenuação. Esses valores devem estar no intervalo $[0,1]$.

Em geral, $k_c=1$ para evitar que o valor de atenuação seja maior que $1$.

Geralmente, $k_l\le 1$ e $k_q\le 1$, mas a escolha dos valores dependerá do efeito desejado. Um bom ponto de partida é começar com $k_l=k_q=0.2$. Isso faz com que a fonte de luz ilumine objetos até aproximadamente $d=20$. Quanto menor o valor de $k_l$ e $k_q$, maior a distância coberta pela fonte de luz.

Se considerarmos que todas as fontes de luz são pontuais e atenuadas, podemos reformular o modelo de reflexão como a seguir:

$$I=\sum _{i=1}^m{F}_{{\text{att}}_i}(\frac{{\kappa }_a{\iota }_a}{m}+{\kappa }_d{\iota }_{d_i}({\hat{l}}_i\cdot \hat{n})+{\kappa }_s{\iota }_{s_i}({\hat{r}}_i\cdot \hat{v}{)}^{\alpha }),$$

onde $F_{{\text{att}}_i}$ é o fator de atenuação da $i$-ésima fonte de luz. Note que o termo ${\kappa }_a{\iota }_a$ é atenuado for $F_{{\text{att}}_i}/m$. Isso supõe que todas as fontes de luz contribuem igualmente para a intensidade ${\iota }_a$.

Luz direcional

A fonte de luz direcional simula o comportamento de uma fonte de luz pontual infinitamente distante, de tal modo que os raios de luz que chegam à superfície são paralelos entre si. No mundo físico, uma aproximação de fonte de luz direcional é a luz do sol.

A luz direcional é definida simplesmente por um vetor $u$ de direção da luz. Não há posição do espaço, logo não há como calcular a atenuação.

Dada uma direção $u$ de luz direcional, o vetor $\hat{l}$ do modelo de reflexão de Phong é definido como

$$\hat{l}=-\frac{u}{|u|}.$$

Referências

Greenberg, Donald P., Michael F. Cohen, and Kenneth E. Torrance. 1986. “Radiosity: A Method for Computing Global Illumination.” The Visual Computer 2 (5): 291–97. https://doi.org/10.1007/BF02020429.

Phong, Bui Tuong. 1973. “Illumination of Computer-Generated Images.” Technical Report UTEC-CSs-73-129. University of Utah.