6.3 Espaço euclidiano

O espaço euclidiano é um espaço afim que inclui a operação de produto escalar, também chamada de produto interno.

O produto escalar produz um escalar a partir de dois vetores. Com isso é possível definir conceitos como distância e ângulo.

O espaço euclidiano inclui o espaço vetorial de números reais $R^{n}$ . Seus elementos são $n$ -tuplas de números reais $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ que denotam coordenadas do sistema de coordenadas cartesiano. A figura 6.9 ilustra a representação de um ponto em coordenadas cartesianas no espaço euclidiano de três dimensões (espaço 3D).

Figura 6.9: Representação de um ponto no espaço 3D.

As operações do espaço vetorial são definidas como:

$\begin{aligned} u + v & = (u_{1} + v_{1}, u_{2} + v_{2}, \dots, u_{n} + v_{n}), \\ a v & = (a v_{1}, a v_{2}, \dots, a v_{n}) . \end{aligned}$

As operações afins são definidas como:

$\begin{aligned} P - Q & = (p_{1} - q_{1}, p_{2} - q_{2}, \dots, p_{n} - q_{n}), \\ P + u & = (p_{1} + u_{1}, p_{2} + u_{2}, \dots, p_{n} + u_{n}) . \end{aligned}$

Frames

Assim como no mundo físico não existe um ponto de referência absoluto (uma “origem” no universo), no espaço euclidiano qualquer ponto pode ser considerado como a origem. Desse modo, para definir unicamente vetores e pontos, precisamos de uma base e um ponto de referência. Um frame cumpre esse papel²⁷.

Um frame de um espaço euclidiano de $n$ dimensões é composto por:

Um ponto de referência $P_{0}$ ;
Uma base composta por $n$ vetores linearmente independentes $v_{1}, \dots, v_{n}$ .

Dado um frame ${P_{0}, v_{1}, \dots, v_{n}}$ , um vetor

$u = (u_{1}, \dots, u_{n})$

pode ser escrito unicamente como

$u = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} + \dots + u_{n} v_{n} .$

Um ponto

$P = (p_{1}, \dots, p_{n})$

pode ser escrito unicamente como

$P = P_{0} + p_{1} v_{1} + p_{2} v_{2} + \dots + p_{n} v_{n} .$

O ponto de referência $P_{0}$ representa a origem do frame. No frame cartesiano padrão,

$P_{0} = (0, \dots, 0),$

e a base é formada pelo conjunto de tuplas

$\begin{aligned} e_{1} & = (1, 0, 0, \dots, 0), \\ e_{2} & = (0, 1, 0, \dots, 0), \\ ⋮ \\ e_{n} & = (0, 0, 0, \dots, 1), \end{aligned}$ No $R^{3}$ , a base é frequentemente denotada por vetores $\hat{i}$ , $\hat{j}$ , $\hat{k}$ :

$\begin{aligned} \hat{i} & = (1, 0, 0), \\ \hat{j} & = (0, 1, 0), \\ \hat{k} & = (0, 0, 1) . \end{aligned}$

O conceito de frame é importante em computação gráfica pois é comum que os modelos geométricos 3D sejam representados originalmente em um frame local no qual a origem é o centro ou a base do objeto. Esses modelos podem ser dispostos em uma cena virtual 3D que usa outro frame de referência. Além disso, durante o processamento geométrico do pipeline de renderização, os objetos da cena podem ser expressos em relação ao frame da câmera virtual, cuja origem é frequentemente o centro de projeção. Veremos futuramente como realizar essas mudanças de representação através de matrizes de transformação.

Produto escalar

Sejam $u = (u_{1}, \dots, u_{n})$ e $v = (v_{1}, \dots, v_{n})$ dois vetores do $R^{n}$ . O produto escalar, denotado por $u \cdot v$ , é a soma da multiplicação componente a componente das tuplas. O resultado é, portanto, um escalar:

$u \cdot v = \sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} + \dots + u_{n} v_{n} .$

As seguintes propriedades se aplicam:

$u \cdot v = v \cdot u$ .
$(a u + b v) \cdot w = a u \cdot w + b v \cdot w$ .
$v \cdot v \geq 0$ , e $v \cdot v = 0$ se e somente se $v = 0$ .
$0 \cdot 0 = 0$ .

Ortogonalidade

Se $u \cdot v = 0$ , então $u$ e $v$ são ortogonais, isto é, os vetores são perpendiculares entre si.

Quando todos os vetores de uma base são ortogonais, temos uma base ortogonal.

A base padrão $e_{1}, \dots, e_{n}$ de $R^{n}$ é um exemplo de base ortogonal, pois $e_{i} \cdot e_{j} = 0$ para $i \neq j$ .

Comprimento e distância

No espaço euclidiano, a magnitude ou comprimento de um vetor $u = (u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n})$ é definida pela norma euclidiana:

$\begin{aligned} | u | & = \sqrt{u \cdot u} \\ = \sqrt{u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + \dots + u_{n}^{2}} . \end{aligned}$

A norma euclidiana permite calcular a distância entre pontos. Como $P - Q$ é um vetor de deslocamento de $Q = (q_{1}, \dots, q_{n})$ para $P = (p_{1}, \dots, p_{n})$ , a distância entre os dois pontos pode ser calculada como

$\begin{aligned} | P - Q | & = \sqrt{(P - Q) \cdot (P - Q)} \\ = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} (q_{i} - p_{i})^{2}} . \end{aligned}$

A figura 6.10 ilustra a distância euclidiana entre dois pontos $P = (p_{x}, p_{y})$ e $Q = (q_{x}, q_{y})$ . Observe sua relação com o teorema de Pitágoras.

Figura 6.10: Distância entre dois pontos no plano.

Normalização

Se $| v | = 1$ , dizemos que $v$ é um vetor unitário. Podemos transformar qualquer vetor $v$ não nulo em um vetor unitário na mesma direção, denotado por $\hat{v}$ , se dividirmos todos os elementos de $v$ por seu comprimento: $\hat{v} = \frac{v}{| v |} .$ A figura 6.11 ilustra o resultado da normalização de vetores no $R^{2}$ . Observe que os vetores normalizados desenhados a partir da origem ficam inscritos em um círculo unitário.

Figura 6.11: Um conjunto de vetores (esquerda) e seus correspondentes vetores normalizados (direita).

Sempre que possível trabalharemos com vetores unitários. O uso de vetores unitários simplifica o cálculo do sombreamento e iluminação de superfícies.

Quando dois vetores unitários são ortogonais, dizemos que os vetores são ortonormais. A base padrão $e_{1}, \dots, e_{n}$ do $R^{n}$ é uma base ortonormal pois possui vetores de base unitários (isto é, $| e_{i} | = 1$ ) e ortogonais entre si.

Ângulo entre vetores

O produto escalar entre dois vetores $u$ e $v$ não nulos é proporcional ao cosseno do ângulo $θ$ formado entre esses vetores:

$u \cdot v = | u | | v | \cos θ .$ Logo,

$\cos θ = \frac{u \cdot v}{| u | | v |} .$

Se os vetores são ortogonais, $\cos θ = 0$ . Se os vetores são paralelos e na mesma direção, $\cos θ = 1$ .

O menor ângulo não negativo entre dois vetores ( $θ \in [0, π]$ ) pode ser calculado como:

$θ = \cos^{- 1} (\frac{u \cdot v}{| u | | v |}) .$ Note que, para vetores unitários, a expressão é mais simples:

$\cos θ = u \cdot v$ e

$θ = \cos^{- 1} (u \cdot v) .$ A relação entre $θ$ e $u \cdot v$ é como segue:

$\begin{aligned} u \cdot v {\begin{cases} > 0, para 0 \leq θ < \frac{π}{2} \\ = 0, para θ = \frac{π}{2} \\ < 0, para \frac{π}{2} < θ \leq π \end{cases} \end{aligned}$ A figura 6.12 mostra exemplos dos diferentes valores do produto escalar usando vetores no plano.

Figura 6.12: Valor do produto escalar e ângulo entre vetores.

Projeção ortogonal

Dado um vetor $w$ e um vetor $v$ não nulo, podemos decompor $w$ como uma soma de dois vetores, sendo um paralelo a $v$ e outro ortogonal a $v$ (figura 6.13):

$w = a v + u,$

$a v$ é o vetor paralelo, chamado de projeção de $w$ sobre $v$ , sendo que

$a = \frac{w \cdot v}{v \cdot v} .$
$u$ é o vetor ortogonal a $v$ (isto é, $u \cdot v = 0$ ) e

$u = w - a v .$

Figura 6.13: Projeção ortogonal de um vetor sobre outro.

Note que, se $v$ é um vetor unitário,

$a = w \cdot \hat{v} = | w | \cos θ,$

onde $θ$ é o ângulo entre $w$ e $\hat{v}$ .

Produto vetorial

Sejam $u$ e $v$ dois vetores do $R^{3}$ . O produto vetorial ou produto externo de $u$ e $v$ é definido como

$u \times v = | u | | v | \sin (θ) \hat{n},$

onde $\hat{n}$ é um vetor unitário ortogonal a $u$ e $v$ , e $θ$ é o ângulo entre $u$ e $v$ . Assim, $u \times v$ é um vetor ortogonal aos dois vetores, com magnitude $| u \times v | = | u | | v | | \sin θ |$ como mostra a figura 6.14.

Figura 6.14: Produto vetorial.

A direção do vetor ortogonal é dada pela regra da mão direita: usando a mão direita, se o indicador apontar na direção de $u$ e o dedo médio apontar na direção de $v$ , o vetor ortogonal $u \times v$ apontará na direção do dedão (figura 6.15).

Direção do produto vetorial segundo a regra da mão direita (imagem modificada do [original](https://en.wikipedia.org/wiki/File:Right_hand_rule_cross_product.svg)).

Figura 6.15: Direção do produto vetorial segundo a regra da mão direita (imagem modificada do original).

O produto vetorial é anticomutativo, isto é,

$u \times v = - (v \times u) .$

Assim, se a ordem dos operandos for invertida, o vetor ortogonal apontará para a direção oposta, como mostra a figura 6.16 (pela regra da mão direita, o dedão apontará para baixo).

Figura 6.16: A ordem dos operandos determina a direção do vetor ortogonal.

O produto vetorial é calculado como

$u \times v = (u_{y} v_{z} - u_{z} v_{y}, u_{z} v_{x} - u_{x} v_{z}, u_{x} v_{y} - u_{y} v_{x}) .$

Para memorizar mais facilmente, podemos expressar o produto vetorial como um determinante de ordem 3:

$u \times v = | \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ u_{x} & u_{y} & u_{z} \\ v_{x} & v_{y} & v_{z} \end{matrix} | .$ Usando expansão de cofatores:

$\begin{aligned} u \times v & = | \begin{matrix} u_{y} & u_{z} \\ v_{y} & v_{z} \end{matrix} | \hat{i} - | \begin{matrix} u_{x} & u_{z} \\ v_{x} & v_{z} \end{matrix} | \hat{j} + | \begin{matrix} u_{x} & u_{y} \\ v_{x} & v_{y} \end{matrix} | \hat{k} \\ = (u_{y} v_{z} - u_{z} v_{y}) \hat{i} - (u_{x} v_{z} - u_{z} v_{x}) \hat{j} + (u_{x} v_{y} - u_{y} v_{x}) \hat{k} \\ = (u_{y} v_{z} - u_{z} v_{y}, u_{z} v_{x} - u_{x} v_{z}, u_{x} v_{y} - u_{y} v_{x}) \end{aligned}$ Uma vez que o vetor ortogonal tem tamanho proporcional ao seno do ângulo entre os vetores, o produto vetorial de dois vetores paralelos é o vetor nulo:

$\begin{aligned} u \times u & = 0, \\ - u \times u & = 0 . \end{aligned}$

Outras propriedades são dadas a seguir:

$u \times (v + w) = (u \times v) + (u \times w)$ .
$(a u) \times v = u \times (a v) = a (u \times v)$ .
$u \cdot (v \times w) = (u \times v) \cdot w$ .
$u \times (v \times w) = (u \cdot w) v - (u \cdot v) w$ .

Além disso,

$\begin{aligned} \hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}, \\ \hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}, \\ \hat{k} \times \hat{i} = \hat{j} . \end{aligned}$

Vetor normal

Um vetor normal, ou simplesmente “normal,” é um vetor perpendicular ao plano que tangencia uma superfície em um dado ponto. Em computação gráfica, vetores normais são essenciais para o cálculo correto do sombreamento e iluminação de superfícies.

Se considerarmos a superfície de uma esfera de raio $r > 0$ dada pela equação

$x^{2} + y^{2} + z^{2} = r^{2},$ a normal de um ponto $P = (x, y, z)$ sobre essa esfera é o vetor $n = (2 x, 2 y, 2 z)$ (figura 6.17). O vetor no sentido oposto, $- n$ , também é um vetor normal. Entretanto, em superfícies fechadas como a esfera, geralmente estamos interessados nas normais que apontam para fora da superfície.

Figura 6.17: Vetor normal em um ponto na superfície de uma esfera.

O cálculo do vetor normal em superfícies suaves frequentemente exige o uso de ferramentas de geometria diferencial. Por exemplo, em uma superfície definida implicitamente como uma função level set $f (x, y, z) = c$ , o vetor normal é calculado através do gradiente

$\begin{aligned} n = \nabla f (x, y, z) = \frac{\partial f}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \hat{k} . \end{aligned}$ De fato, para a esfera centralizada na origem,

$f (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2}$

$\begin{aligned} n = \nabla f (x, y, z) & = 2 x \hat{i} + 2 y \hat{j} + 2 z \hat{k} \\ = (2 x, 2 y, 2 z) . \end{aligned}$

Entretanto, neste curso não trabalharemos com superfícies implícitas. Utilizaremos apenas superfícies formadas por malhas de triângulos, uma vez que o pipeline gráfico do OpenGL trabalha apenas com pontos, segmentos e triângulos. Se quisermos renderizar uma esfera, teremos de usar uma malha triangular que aproxime essa esfera. A figura 6.18 ilustra uma malha que aproxima uma esfera. Essa malha pode ser descrita unicamente por triângulos, pois cada quadrilátero pode ser formado por dois triângulos.

Figura 6.18: Vetor normal em uma malha que aproxima a superfície de uma esfera.

Em geral, dada uma malha de triângulos, não temos acesso à representação implícita ou paramétrica da superfície que a malha tenta aproximar. Assim, no caso geral, a normal $n$ mostrada na figura 6.18 precisa ser calculada utilizando unicamente os triângulos que formam a malha.

Figura 6.19: Calculando o vetor normal de um triângulo.

Para calcular a normal de um triângulo $△ A B C$ , basta definir dois vetores sobre o plano do triângulo, e então calcular o produto vetorial desses vetores. Os dois vetores podem ser obtidos através da subtração dos vértices que formam quaisquer duas arestas do triângulo (figura 6.19):

$\begin{aligned} u & = A - C, \\ v & = B - C, \\ n & = u \times v . \end{aligned}$ Em geral, desejaremos trabalhar com normais unitárias. Nesse caso, a normal será calculada como

$\begin{aligned} \hat{n} & = \frac{u \times v}{| u \times v |} . \end{aligned}$ Como o triângulo é uma superfície planar, o vetor normal é o mesmo para todos os pontos do triângulo. Entretanto, isso evidencia um problema com o cálculo do vetor normal em vértices de uma malha que aproxima uma superfície suave. Observe na figura 6.20 o detalhe ampliado da esfera da figura 6.18. Cada face, formada por dois triângulos (mostrados pelo tracejado), é uma superfície planar. Portanto, cada face tem o mesmo vetor normal para todos os pontos. Por outro lado, o ponto $P$ é compartilhado por quatro faces (seis triângulos). Qual das normais ( $n_{1}$ , $n_{2}$ , $n_{3}$ , $n_{4}$ ) deve ser utilizada em $n_{p}$ ?

Figura 6.20: Detalhe ampliado de uma esfera aproximada por uma malha.

Como a malha de triângulos aproxima uma superfície suave, podemos calcular um vetor normal em $P$ como uma média dos vetores normais de todos os $n$ triângulos que usam $P$ . Uma forma simples de fazer isso é através da normalização da soma dessas normais

$\begin{aligned} {\hat{n}}_{p} & = \frac{\sum_{i = 1}^{n} n_{i}}{| \sum_{i = 1}^{n} n_{i} |}, \end{aligned}$ onde $n_{i}$ é o vetor normal do $n$ -ésimo triângulo que usa $P$ . O resultado é um vetor normalizado chamado de normal de vértice. A figura 6.21 ilustra, em um corte bidimensional, como a normal do vértice $P$ aproxima a superfície suave mostrada no tracejado.

Figura 6.21: Normal de vértice como aproximação da normal da superfície suave.

Podemos utilizar este método sempre que soubermos que a malha aproxime uma superfície suave. Veremos nas próximas seções que esse é o método ideal para ser utilizado com geometria indexada, que é a geometria em que os atributos de um vértice são compartilhados com todas as faces adjacentes. Entretanto, se a malha representar um objeto com quinas, tal como um cubo ou pirâmide, então cada face precisará ser renderizada com vértices não compartilhados, pois queremos evidenciar a descontinuidade da superfície. Se esse fosse o caso da geometria ilustrada na figura 6.20, quatro vértices teriam de ser utilizados em $P$ : um para cada face (quadrilátero formado por dois triângulos). Os vértices teriam a mesma posição de $P$ , mas cada um usaria a normal da face correspondente.

Nesse contexto, frame é um quadro de referência (frame of reference) de um sistema de coordenadas e não tem relação com o termo frame utilizado para descrever uma imagem renderizada.↩︎